Nel corso di potenziamento di matematica, a cura del professore Rosanova Claudio , sono stati trattati i seguenti argomenti: 

• L'insieme N dei numeri naturali
  
• Gli assiomi di Peano
• Insiemi numerici

L'insieme N dei numeri naturali

a cura di Giulia Grasso e Noemi Puliafico

I numeri naturali sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... L'insieme di questi numeri viene indicato con la lettera N. I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale, a partire dell'origine O, fissiamo un verso di percorrenza, da sinistra verso destra, che indichiamo con una freccia. Ogni numero naturale ha un successivo, il numero subito a destra sulla semiretta, e ogni numero naturale escluso lo 0 ha un precedente, il numero subito a sinistra sulla semiretta. Man mano che procediamo verso destra lungo la semiretta i numeri diventano sempre più grandi: ogni numero è maggiore di tutti quelli che lo precedono sulla semiretta. Perciò dati due numeri naturali, diversi tra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è maggiore del secondo o viceversa. Per indicare questa relazione si utilizzano i simboli maggiore (>) o minore (<). Con i numeri naturali si eseguono le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. I due numeri con i quali si opera, cioè gli operandi, assumono nomi particolari, così come i risultati delle operazioni. Nell'addizione il primo e il secondo operando sono gli addendi, il risultato è la somma. Nella sottrazione il primo operando è il minuendo, il secondo operando è il sottraendo, il risultato è la differenza. Nella moltiplicazione il primo e il secondo operando sono i fattori, il risultato è il prodotto. Nella divisione il primo operando è il dividendo, il secondo operando è il divisore, il risultato è il quoziente. Fra le quattro operazioni solo l'addizione e la moltiplicazione danno sempre come risultato un numero naturale. Per questo si dice che l'addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne in N, oppure che N è chiuso rispetto a tali operazioni.   La sottrazione e la divisione sono definite rispettivamente in base all'addizione e alla moltiplicazione e agiscono in modo contrario rispetto a queste; per tale motivo sono anche chiamate operazioni inverse. La differenza fra due numeri è quel numero che, addizionato al sottraendo, dà come somma il minuendo. Non sempre esiste in N il risultato della sottrazione. Il quoziente fra due numeri è quel numero che, moltiplicato per il divisore, dà come prodotto il dividendo. Quindi, perché la divisione abbia senso il divisore deve sempre essere diverso da 0.       

•   Il numero 0                                                                                                                                Lo 0 sommato a qualsiasi numero dà come risultato il numero stesso. Ciò è vero indifferentemente quando 0 è il primo addendo o il secondo. Per questo motivo 0 è detto elemento neutro dell'addizione. Non è invece possibile in N la sottrazione con il minuendo uguale a 0. La somma di due numeri naturali è 0 soltanto se entrambi i numeri sono 0. Invece, quando la sottrazione dà come risultato 0, significa che il minuendo e il sottraendo sono uguali. Nella moltiplicazione basta che lo 0 compaia una sola volta tra i fattori per annullare il prodotto. Lo 0 è quindi un numero che, moltiplicato per qualsiasi numero, dà come risultato se stesso. Per questo lo 0 viene detto elemento assorbente della moltiplicazione. Nella moltiplicazione vale la legge di annullamento del prodotto: affinché un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 0 almeno uno dei suoi fattori. È necessario significa che se il prodotto è 0, almeno uno dei fattori deve essere 0. È sufficiente significa che se uno dei fattori è 0, anche il prodotto è uguale a 0. Nella divisione, quando il dividendo è 0, il quoziente è 0. Non è possibile la divisione con il divisore uguale a 0. In casi come questo si dice che l'operazione è impossibile. Anche la divisione 0'0 non viene definita. Infatti ogni numero, moltiplicato per 0, dà come risultato 0: la divisione non potrebbe quindi avere un unico risultato. In casi come questo si dice che l'operazione è indeterminata.    
• Il numero 1                                                                                                                           Moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene come risultato il numero stesso, indifferentemente quando 1 è il primo fattore o il secondo. Per questo 1 è detto elemento neutro della moltiplicazione. Nella divisione, quando il divisore è 1, il quoziente coincide con il dividendo. Se la divisione ha quoziente 1, il dividendo e il divisore sono uguali. 
• Le potenze                                                                                                                                  Ci sono moltiplicazioni particolari nelle quali tutti i fattori sono uguali. Per evitare scritture così lunghe è stata introdotta una nuova operazione, la potenza.           

La base indica quale fattore viene moltiplicato per se stesso, l'esponente indica il numero di fattori uguali. Dunque: se l'esponente è maggiore di 1, la potenza è il prodotto di tanti fattori quanti vengono indicati dall'esponente, tutti uguali alla base.                                                                           1. Elevando a 0 un numero naturale diverso da 0 si ottiene 1                                                               2. Elevando a 1 un numero naturale si ottiene il numero stesso                                                          Non viene invece definita la potenza con base ed esponente uguale a 0 

• Le espressioni con i numeri naturali                                                                                         Le operazioni vanno eseguite con un ordine ben preciso: prima vengono calcolate le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell'ordine in cui sono scritte, infine le addizioni e le sottrazioni, sempre nell'ordine in cui sono scritte. Ciò significa che alcune operazioni hanno la precedenza rispetto ad altre. Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza, così come addizioni e sottrazioni. Semplificare un'espressione significa sostituirla con una più semplice che abbia lo stesso valore.
  
• Le proprietà delle operazioni                                                                                                    Le seguenti proprietà sono dette proprietà formali delle operazioni. Esse valgono indipendentemente dai particolari numeri ai quali scegliamo di applicarle. 

• I multipli e i divisori di un numero                                                                                             Un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se esiste un numero c che moltiplicato per b dà a.                                                                                                             Un numero naturale b, diverso da 0, è divisore di un altro numero naturale a se la divisione fra quest'ultimo e il numero dato è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0; a: b = c.    Mentre i multipli di un numero sono infiniti, i suoi divisori sono un numero finito.
  
• Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo                                                        Si dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e da 1, che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi. Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti i fattori sono numeri primi. La scomposizione di un numero in fattori primi è unica. Viene anche chiamata fattorizzazione in numeri primi.                                                                                                    Il massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni. Il MCD di due o più numeri è il prodotto dei soli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l'esponente più piccolo.                                                       Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo  fra i multipli comuni, diversi da 0. Il mcm di due o più numeri è il prodotto di tutti i fattori primi, comuni e non comuni, ognuno preso una sola volta con l'esponente più grande.
  

Gli assiomi di Peano

a cura di Giulia Grasso e Elena Siracusa

Gli assiomi di Peano sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali.                                                                        Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

1. Esiste un numero naturale, 0
2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3. Numeri diversi hanno successori diversi
4. 0 non è il successore di alcun numero naturale
5. Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)